Relatividad: Viajes interestelares

Una de las grandes desgracias de la vida en la Tierra es el aislamiento. La vida quiere expandirse y ocupar cualquier nicho que exista (quizá la Tierra sea uno de esos nichos) y los seres humanos tenemos también ese impulso de colonizar. Pero ante nosotros, tenemos el inconveniente de la inmensidad del espacio. El sistema estelar más próximo Alpha Centauri se encuentra a 4,36 años luz de la tierra y el centro de la galaxia a 27.700 años luz. Estas distancias parecen insalvables y más suponiendo, como propone la teoría de la relatividad, que nada puede viajar más rápido que la luz.

Pero las cosas no son tan imposibles como las hemos pintado. Según la teoría de la relatividad, el tiempo se relentiza cuando viajas a una velocidad cercana a la de la luz. De esta forma, si nos movemos suficientemente rápido, podemos ir a almorzar al centro de la galaxia. El único inconveniente es que han pasado 27.700 años en la Tierra desde que salimos. 

Esto se puede ver fácilmente en las ecuaciones de transformación de Lorentz. Donde tenemos como relación entre el tiempo en reposo y el tiempo en la nave que viaja a gran velocidad

Esto significa que cuando este cociente tiende a 0, cuando beta=v / c=1,  casi un instante de tiempo en el sistema en movimiento es una eternidad en el sistema en reposo. Esto, como os podéis imaginar es consistente con las ideas básicas de la teoría de la relatividad, la velocidad de la luz es constante independientemente del observador. Para los más escépticos, y a los que les guste comerse el coco, os puedo poner un breve ejemplo:

Imaginemos una increible nave espacial que viaja desde la Tierra  a Alpha Centauri prácticamente a velocidad c (99,9%). Los astronautas, durante el viaje, deciden medir el tiempo que tarda en ir y volver un rayo reflejado en un espejo. La línea que une el espejo y la linterna está situada en la perpendicular al movimiento de la nave. Claramente y como indica la figura el tiempo sería t=2d/c, muy corto

Por otro lado, tenemos que ese mismo rayo para los observadores de la Tierra tiene que recorrer mucha más distancia, pues la nave se está moviendo casi a la velocidad de la luz y por lo tanto, tiene que recorrer mucha distancia en la dirección horizontal (vt').

De esta forma, el tiempo que tarda el rayo en ir y volver de la linterna es mucho mayor. En concreto, la distancia a recorrer por la luz es la dada por los dos lados idénticos del triángulo de la figura. Contando que la velocidad de la luz es c y la nave se mueve a velocidad v la distancia es d'^2=(2d)^2+(vt')^2, con lo que como ct'=d' y t=2d/c despejando t' obtenemos

 ¡Qué casualidad! es el resultado de la transformación de Lorentz para el tiempo. De esta forma vemos que los sucesos de la nave transcurren más lentamente para los observadores de la Tierra. Esto significa que el tiempo transcurre mucho más lentamente dentro de la nave que en la Tierra, según los observadores de la Tierra. Mientras que para los astronautas todas sus experiencias cotidianas continúan siendo iguales que antes de iniciar el viaje.

Los astronautas de la nave espacial viajando al 99.9% de la velocidad de la luz llegarán a Alfa Centauri en poco más de dos meses, no en 4 años y medio. Y si decidiesen ir más lejos, en poco más de seis meses de viaje, podríamos visitar estas 33 sistemas estrellares

Esto no acaba aquí, después de 11 años de viaje se podrían alcanzar 260.000 sistemas estelares. Y en 20 años podríamos visitar las pléyades a más de 440 años luz de la Tierra.

Como hemos podido observar, la colonización espacial es posible a velocidades relativistas, lo que es imposible es volver a atrás, si decidimos ir a las pléyades y volver a la Tierra, consumiendo 40 años de nuestra vida, cuando regresemos habrán pasado poco más de 880 años en la Tierra. Esto es lógico desde el punto de vista de la Tierra, pero realmente sorprendente para los astronautas, pues ellos al ver a la Tierra moverse tan rápidamente deducían, correctamente, que el tiempo en la Tierra transcurría más lentamente... Me estoy adelantando, eso lo veremos en una de las próximas anotaciones sobre relatividad: La paradoja de los gemelos.

Como siempre, espero que me hagáis un montón de preguntas y correcciones que uno hace lo que puede, pero no soy ni mucho menos infalible y además, mis dotes comunicativas pueden ser altamente cuestionadas.

 Nuestras anotaciones de relatividad

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Apophis

A estas alturas todos sabréis que existe un meteorito llamado Apophis, que dicen que se estrellará contra la tierra en unos años. Polémica aparte, he creído que algo que pueda acabar con la tierra se llame igual que el malo malísimo de la gran serie “chifi” Stargate SG-1, era demasiada casualidad. Y efectivamente, indagando un poco más, me encuentro con ésto en la Wikipedia:

Aunque el Apofis mitológico resulta ser una fuente apropiada, es sabido que Tholen y Tucker (dos de los descubridores) son fans de la serie de televisión Stargate SG-1. En las primeras temporadas de la serie, el principal enemigo de los humanos es un alienígena llamado Apophis, que toma el nombre del dios egipcio, y cuyo principal objetivo es destruir la Tierra.

Que grande es la ciencia ficción... Nota: Ayer vi el final de la 7ª temporada. Impresionante la batalla final entre naves Tauri contra la flota del Señor del Sistema Anubis!

RELATIVIDAD: El antes y el después es relativo.

Recordemos lo que ya hemos aprendido sobre la teoría de la relatividad Los comienzos Postulados de la Relatividad Repaso: Hemos llegado a un punto en el que podemos tomar cualquier suceso (cualquier cosa que ocurre en un instante determinado y en un lugar determinado) y calcular sus coordenadas en diferentes sistemas que se mueven a velocidades diferentes uno respecto del otro, utilizando la transformada de Lorentz, deducida a partir del postulado: la velocidad de la luz es la misma para cualquier observador se mueva a la velocidad que se mueva. Volvamos a hacer experimentos raros: Imaginemos que tenemos dos sucesos que para nosotros ocurren exactamente a la vez separados una cierta distancia uno de otroUno en la primera estrella (A) y el otro en la segunda estrella (B). Ahora observemos dichos sucesos, cómo puedo saber yo que han pasado al mismo tiempo. Fácil, como conozco la distancia de los sucesos a mí en este caso d1=1 año/luz y d2=1 años/luz. Si me llegan en el mismo instante es que han ocurrido a la vez he incluso puedo medir cuánto hace que ocurrieron y esto es hace exactamente un año. Por otro lado imaginemos ahora que un astronauta que se mueve respecto a nosotros a velocidad beta = 0.8 y pasa junto a nosotros justo en el momento en el que llega la imagen de ambos sucesos. El astronauta también quiere calcular cuando ocurrieron ambos sucesos, pero claro para él el cálculo es más complicado así que le pregunta al observador de la tierra. Este le dice que ambos sucesos ocurrieron hace un año. Y el dice: voy a comprobarlo. Hace un año la primera estrella (A) estaba muy cerca mío y como la velocidad de la luz viaja a velocidad c habría tardado muy poco en llegar a mí mucho menos que un año. Por otro lado la segunda estrella (B) estaba casi a 2 años luz de distancia con lo que la señal aún no me habría llegado. Así que en principio no sé cuando ocurrieron, pero seguro que hace un año no es y además le puedo asegurar al de la tierra que el suceso en B es más antiguo que el suceso en A. Para liar más las cosas, resulta que en ese momento pasa junto a nosotros otro astronauta que se mueve respecto a nosotros a velocidad = -0.8 y le llegan también las dos señales. Este haciendo los mismos cálculos que el primer astronauta llega a la conclusión que el suceso en la primera estrella (A) es más antiguo que el de la segunda estrella pues antes esta estaba muy alejada y el de la segunda estrella (B) al estar antes más cerca ha tenido que recorrer menos espacio con lo que ocurrió hace menos tiempo. Entonces empieza el problema puesto que los tres observadores no se ponen de acuerdo, no sólo en el momento en que ocurrieron los sucesos, tampoco sobre en qué orden ocurrieron, lo cual es más grave. Gracias a Dios, un amigo que estaba escuchando la discusión y conocía la teoría de la relatividad especial les explicó que realmente los tres tenían razón. Para cada uno de ellos los sucesos habían ocurrido en instantes diferentes y utilizó la transformada de Lorentz (asumida ya como correcta) para calcular cuando ocurrieron los sucesos en el sistema de referencia de cada uno de ellos. Empezamos con el observador En reposo. Para éste los datos están claros y los tomamos como base. El suceso de A ocurrió en las coordenadas x_A=-1 año/luz y t_A=-1 año (hace un año) y para el suceso B tenemos las coordenadas x_B=1 año/luz y t_B=-1 año. Ahora aplicamos las transformaciones de Lorentz para el primer astronauta. Tenemos en cuenta que la velocidad de la luz es c=1 si el espacio lo medimos en años luz (ya que la luz recorre justamente un año luz en un año). El suceso A ocurrió en t'_A=-0.33 años lo mismo para el suceso ocurrido en B Ahora si se calcula para el segundo astronauta: Ambos astronautas hicieron los cálculos y sí, si los sucesos ocurrieron en esos instantes de tiempos es lógico que les llegaran a la vez en este momento. Y se quedaron momentáneamente tranquilos. Por desgracia hubo uno de ellos que se preocupó bastante por el hecho de que el orden estuviese alterado. Vale que se distorsione el espacio y el tiempo, que las distancias para el que está en movimiento sean diferentes que para el que no lo está, igual que el paso del tiempo sea más lento para el que se mueve que para el que está quieto, pero que me digas que el orden de los sucesos queda alterado ... ¡eso es demasiado! Y se imaginó un problema posible: dado un suceso (A) que es consecuencia de otro (B) ¿existe un observador para el que el primer suceso ocurra después del primero? Esto sería un desastre, pues ocurrirían antes las consecuencias que las causas, y como el orden de los sucesos puede verse alterado esto en principio parece posible. Tras noches de insomnio, decidió preguntarle al amigo que sabía de estas cosas. Éste le contestó que no. Dado que para que un suceso sea causa de otro ha de poder interactuar con él. Y la forma más rápida de interactuar es hacerlo a la velocidad de la luz. Esto significa que para que un suceso en la primera estrella pudiese desencadenar una consecuencia en la segunda estrella necesitamos que pase al menos un tiempo de 2 años luz (sistema sin movimiento) que es lo que le cuesta a la luz viajar de una a otra. Así con ese desfase, no existe ningún sistema, se mueva a la velocidad que se mueva, que decida que el suceso causa es posterior al suceso consecuencia, él como tenía dudas hizo los cálculos y efectivamente el amigo tenía razón. Eso le hizo pensar en que existen un montón de sucesos que no pueden afectarle a él en este momento. De hecho sólo nos pueden afectar en este momento sucesos ocurridos en el pasado y nunca sucesos que están ocurriendo en este instante en concreto. El ejemplo más claro es que si en este momento estallase Betelgeuse en supernova (estrella situada a unos 650 años luz) no podría afectarnos hasta dentro de 650 años cuando llegara la onda expansiva. Para que nos afectara ahora. tenía que haber ocurrido la explosión hace 650 años. Del mismo modo lo que nosotros hagamos en este instante no puede afectar a nada del presente, sólo puede afectar a sucesos futuros. Siempre se ha representado esto mediante el horizonte de sucesos: Este horizonte viene dado por las dos líneas magenta que representan los sucesos que ocurren en el límite de lo que nos puede afectar, es decir los que ocurren a una distancia x años/luz hace exactamente x años. Así cuanto más alejados estén los sucesos de nosotros más antiguos tienen que ser para poder afectarnos o simplemente para tener constancia de ellos. Así nuestra realidad siempre está dentro del cono de sucesos y nada fuera de él tiene importancia para nosotros pues ni podemos afectarle en el futuro ni nos puede afectar en este momento. Eso es todo y quedo como siempre a vuestra disposición para vuestras cuestiones y correcciones

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Relatividad: Postulados de la Relatividad

Hola, seguimos con nuestros problemas sobre la teoría de la relatividad. Nos quedamos hablando de la hipótesis de Einstein sobre la velocidad de la luz: La luz tiene velocidad constante independientemente de la velocidad del observador. También hemos visto que esto plantea muchos problemas de continuidad y da lugar a contradicciones, por ejemplo si una nave viaja de la Tierra a Marte a una velocidad v constante la imagen del lanzamiento llegará a Marte para los terrícolas una vez han pasado d/c años (siendo d la distancia de la Tierra a Marte y c la velocidad de la luz). Mientras que para la nave espacial Marte se acerca a velocidad v y la imagen del lanzamiento se aleja a velocidad c con lo que llegará antes a Marte pues la luz viaja a la misma velocidad c y como Marte se acerca a velocidad v tiene que recorrer menos espacio. Aquí uno llega y dice contradictorio, esto es una tontería. Hay otra posibilidad y es la de suponer que el sistema nave tiene unos ejes x,y,z y t diferentes. En principio esto no plantea un problema, ¡ya lo hemos hecho antes! sólo que estamos tan acostumbrados que no nos hemos dado cuenta. Ya que al tiempo lo habíamos dejado tranquilo. Cuando se hace una transformación de coordenadas entre dos sistemas que se mueven uno respecto de otro en la dirección del eje x con velocidad v decimos que las coordenadas del segundo sistema (x',y',z') son respecto al primero, (transformación de Galileo): (por eso decíamos que Marte se acerca a la nave a la velocidad de ésta). Einstein definió como punto de su espacio al suceso. Un suceso es algo que ocurre en un determinado lugar en un determinado momento, por lo que tiene las coordenadas espaciales y temporales x,y,z,t válidas para un determinado sistema (S) de referencia. Si cambiamos a otro sistema de referencia (S') tendremos otras coordenadas para este mismo suceso x',y',z',t'. Vamos a buscar una transformación coherente con nuestras nuevas ideas (Las que tuvo Einstein), que transforme a un sistema de referencia se mueve respecto del otro con los ejes paralelos a una velocidad v cte. en el eje OX. Los postulados de Einstein fueron: El primero: Las leyes de transformación no dependen del lugar ni del tiempo de medición. El segundo: La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores (c). La primera suposición nos lleva a pensar que una transformación válida es una transformación lineal, una transformación no lineal dependería del lugar en el que fue hecha la medición. Con el segundo postulado tenemos la siguiente igualdad para el sistema S [ec. 1] Y para el sistema S' [ec. 2] que quiere decir que como la luz se mueve en todas direcciones con la misma velocidad recorre el mismo espacio y este viene dado por ct o ct' en el otro sistema. Si hacemos la transformación de Galileo sobre (2) tenemos: igualando ahora con (1) para el sistema S tenemos que se tendría que cumplir: lo cual no se hace si v<>0. Así que tendremos que modificar ligeramente esta transformación lineal para que se cumpla dicha igualdad. Es lógico que si no existe movimiento respecto a el eje OY ni OZ introducir cambios en esos ejes no es apropiado. así que introducimos cambios en el eje OX y el OT: De esta forma volvemos a repetir el proceso a ver si encontramos alguna transformación válida con esta estructura, para ser válida debe de cumplir las ecuaciones (1) y (2). igualando ahora con (1) tenemos que se tendría que cumplir: Bien, ahora esto es un sistema con tres ecuaciones y tres incógnitas con lo que el sistema tiene solución y esta es: llamando a β = v/c tenemos que la transformación posible es: Esta transformación es una de las muchas posibles que cumplen con los dos principios de Einstein. Su característica principal es que cuando beta es pequeña, cercana a 0. La transformación se aproxima a la transformación de Galileo, con lo que verifica todos los resultados obtenidos a velocidades bajas (no relativistas). Además coincide con la transformación de Lorentz. Para mejorar la representación de la transformación (todas en [distancia]) cambiamos la variable tiempo por la distancia recorrida por la luz en dicho tiempo (ct) Esta transformación muestra simetría entre el espacio y el tiempo en la dirección del movimiento. Bien por último volvemos al ejemplo de la nave que se aleja de la Tierra y va hacia Marte a velocidad v. Entonces la imagen del despegue llegará a Marte en el tiempo t = x/c (siendo x la distancia de la Tierra a Marte), para el sistema Tierra - Marte. Respecto al sistema de la nave tenemos que el rayo de luz llegará en el tiempo t'=x'/c. Ahora todo es coherente la transformación entre t' y t así como entre x' y x nos lleva a: Bien, al menos hemos evitado la incoherencia. Ahora falta ver las implicaciones de que esto fuese cierto. continuará...

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Teoría de la relatividad los comienzos

Ayer estuvimos, comentando teorías varias, relatividad, agujeros negros, creación del universo, vamos lo normal, y acabé pensando en escribir un post sobre el tema. Me voy a centrar en los orígenes, los teóricos del éter. (Ruego disculpen las inexactitudes físicas, pero es que uno hace lo que puede, lo que recuerda y aquí, ya que se puede, utiliza un lenguaje de ir por casa). Cuando se pensó que la luz era una onda, enseguida surgió el acalorado debate (posiblemente en los cafés de las universidades) de en qué medio se movía esa onda, pues toda onda necesita de un medio para moverse. Los entendidos de la época Maxwell y Testa vamos casi nada, daban por supuesto que ese medio existía y era llamado éter. El problema surgió cuando alguien se tomó en serio medir el éter. La teoría era apasionante, si el éter existe, entonces la luz se desplazará a la velocidad del éter más la velocidad de la luz. Eso era prometedor porque podrían decir el éter está quieto, midamos la velocidad absoluta de la Tierra, El Sol y todo el universo. el éter prometía un marco de referencia estable. Bueno a lo que iba que me voy por las ramas De esta idea surgió el famoso experimento de Michelson-Morley. La idea, como todo, es sencilla mandemos dos rayos de luz uno perpendicular a otro y entonces seguro que uno llega al centro antes que el otro, el que va a favor de la velocidad del éter, la realización complicada, como todo también. La idea en esencia para que la entendamos los científicos modernos criados con matlab y matemática es medir la diferencia de fase de las dos luces y ver cual va retrasada. Se lo curraron un montón, pensaron todo para medir con exactitud tanto la dirección como la amplitud de dicha velocidad y lo que pasó fue el mayor y más productivo fracaso de la historia. Los dos rayos llegaban exactamente a la vez !!! Os podéis imaginar como les sentó esto a los pobres Michelson y Morley. Gracias a Dios llegó Lorentz con una solución Ad hoc del problema. Esta solución venía a decir que un cambio de sistema de referencia, para el mundo de las ondas, no era igual que para el mundo de la materia donde un objeto Ob se mueve respecto al sistema A a velocidad v y A se mueve respecto de B con velocidad vA entonces tenemos que la velocidad del objeto respecto de B es claramente v'=v+vA. Entonces Lorentz dijo que como demostraron Michelson y Morley eso no es cierto para el electromagnetismo. Ponemos el objeto como el rayo de luz, el sistema A es el éter y el B la tierra la velocidad del rayo respecto del éter es c entonces si la velocidad de la tierra es vt la velocidad de la luz respecto de la tierra hubiese sido ct=vt+c pero era c otra vez. Así que Lorentz ideó una formula que funcionase y esta fue: v'=(v+vA)/(1+v*vA/c^2), si v vale c entonces para el nuevo sistema de referencia sigue siendo c. Y si v*vA es pequeño respecto a c^2 entonces tenemos las ecuaciones de toda la vida. Según el mismo Lorentz era una solución válida, funcionaba, pero cutre. Entonces llegó Enstein y estudió este panorama, ummm pensó esto es muy raro: ¿qué la luz se mueve igual para cualquier sistema en movimiento? ¿y si eso fuese válido no sólo para el mundo electromagnético sino también para el mundo real, el de la materia? y aquí empezó todo. Ahora hacemos un pequeño experimento mental, imaginemos que la Tierra T y Marte M están separados por la distancia d cte. Lanzamos un rayo de luz hacia M evidentemente a velocidad c, entonces tardará en llegar a Marte t=d/c por otro lado los jovianos J que se mueven respecto a Marte con velocidad vJM quieren calcular cuanto tarda en llegar ese mismo rayo(acordemonos que la velocidad de la luz sigue siendo c así tenemos que ese rayo tardará en llegar: t'=d'/(c-vJM) entonces evidentemente si d=d' entonces t<>t' y si t=t' -> d<>d'. Así nuestro amigo se encontró con ese enorme galimatías si el tiempo es constante para los jovianos la distancia de la Tierra a Marte es distinta que para los terrícolas. O el tiempo en que tarda en ir un rayo de uno a otro es diferente. Eso significaría que los relojes de los terrícolas avanzan más despacio. Por este motivo decimos que el tiempo y la distancia son relativos al observador que los mide. Dos sucesos (salida del rayo, llegada del rayo) no tienen porque estar separados la misma distancia ni el mismo tiempo para distintos sistemas de referencia. continuará ...