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Relatividad: Postulados de la Relatividad

Anotado por Carlos

Hola, seguimos con nuestros problemas sobre la teoría de la relatividad. Nos quedamos hablando de la hipótesis de Einstein sobre la velocidad de la luz: La luz tiene velocidad constante independientemente de la velocidad del observador. También hemos visto que esto plantea muchos problemas de continuidad y da lugar a contradicciones, por ejemplo si una nave viaja de la Tierra a Marte a una velocidad v constante la imagen del lanzamiento llegará a Marte para los terrícolas una vez han pasado d/c años (siendo d la distancia de la Tierra a Marte y c la velocidad de la luz). Mientras que para la nave espacial Marte se acerca a velocidad v y la imagen del lanzamiento se aleja a velocidad c con lo que llegará antes a Marte pues la luz viaja a la misma velocidad c y como Marte se acerca a velocidad v tiene que recorrer menos espacio. Aquí uno llega y dice contradictorio, esto es una tontería. Hay otra posibilidad y es la de suponer que el sistema nave tiene unos ejes x,y,z y t diferentes. En principio esto no plantea un problema, ¡ya lo hemos hecho antes! sólo que estamos tan acostumbrados que no nos hemos dado cuenta. Ya que al tiempo lo habíamos dejado tranquilo. Cuando se hace una transformación de coordenadas entre dos sistemas que se mueven uno respecto de otro en la dirección del eje x con velocidad v decimos que las coordenadas del segundo sistema (x',y',z') son respecto al primero, (transformación de Galileo): (por eso decíamos que Marte se acerca a la nave a la velocidad de ésta). Einstein definió como punto de su espacio al suceso. Un suceso es algo que ocurre en un determinado lugar en un determinado momento, por lo que tiene las coordenadas espaciales y temporales x,y,z,t válidas para un determinado sistema (S) de referencia. Si cambiamos a otro sistema de referencia (S') tendremos otras coordenadas para este mismo suceso x',y',z',t'. Vamos a buscar una transformación coherente con nuestras nuevas ideas (Las que tuvo Einstein), que transforme a un sistema de referencia se mueve respecto del otro con los ejes paralelos a una velocidad v cte. en el eje OX. Los postulados de Einstein fueron: El primero: Las leyes de transformación no dependen del lugar ni del tiempo de medición. El segundo: La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores (c). La primera suposición nos lleva a pensar que una transformación válida es una transformación lineal, una transformación no lineal dependería del lugar en el que fue hecha la medición. Con el segundo postulado tenemos la siguiente igualdad para el sistema S [ec. 1] Y para el sistema S' [ec. 2] que quiere decir que como la luz se mueve en todas direcciones con la misma velocidad recorre el mismo espacio y este viene dado por ct o ct' en el otro sistema. Si hacemos la transformación de Galileo sobre (2) tenemos: igualando ahora con (1) para el sistema S tenemos que se tendría que cumplir: lo cual no se hace si v<>0. Así que tendremos que modificar ligeramente esta transformación lineal para que se cumpla dicha igualdad. Es lógico que si no existe movimiento respecto a el eje OY ni OZ introducir cambios en esos ejes no es apropiado. así que introducimos cambios en el eje OX y el OT: De esta forma volvemos a repetir el proceso a ver si encontramos alguna transformación válida con esta estructura, para ser válida debe de cumplir las ecuaciones (1) y (2). igualando ahora con (1) tenemos que se tendría que cumplir: Bien, ahora esto es un sistema con tres ecuaciones y tres incógnitas con lo que el sistema tiene solución y esta es: llamando a β = v/c tenemos que la transformación posible es: Esta transformación es una de las muchas posibles que cumplen con los dos principios de Einstein. Su característica principal es que cuando beta es pequeña, cercana a 0. La transformación se aproxima a la transformación de Galileo, con lo que verifica todos los resultados obtenidos a velocidades bajas (no relativistas). Además coincide con la transformación de Lorentz. Para mejorar la representación de la transformación (todas en [distancia]) cambiamos la variable tiempo por la distancia recorrida por la luz en dicho tiempo (ct) Esta transformación muestra simetría entre el espacio y el tiempo en la dirección del movimiento. Bien por último volvemos al ejemplo de la nave que se aleja de la Tierra y va hacia Marte a velocidad v. Entonces la imagen del despegue llegará a Marte en el tiempo t = x/c (siendo x la distancia de la Tierra a Marte), para el sistema Tierra - Marte. Respecto al sistema de la nave tenemos que el rayo de luz llegará en el tiempo t'=x'/c. Ahora todo es coherente la transformación entre t' y t así como entre x' y x nos lleva a: Bien, al menos hemos evitado la incoherencia. Ahora falta ver las implicaciones de que esto fuese cierto. continuará...

tags: Relatividad, ciencia, Einstein.

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18 Comments:

18/12/06 13:15: Blogger Emilio said...  

...clap,clap,clap,clap,clap...

¿Aplausos? No, el eco de los pasos de nuestros últimos lectores, huyendo despavoridos :).

Cuando tenga un rato y más moral que el alcoyano, me lo leo.

18/12/06 14:16: Blogger Alfredillo said...  

Lo he leido y es posible que incluso entendido, pero eso de cambiar de ejes... se me atraganta un poco.

Ánimo Emilio, si es más fácil que el primero!! Carlos se lo ha currado esta vez.

19/12/06 16:56: Blogger Emilio said...  

Vale, sigo teniendo dudas (y bastantes). ¿No creerías que te ibas a escapar tan facilmente, no? :)

Empiezo por el principio, para no complicar el asunto. No sé de donde salen los postulados ni porqué. Entiendo que pueden ser axiomas o suposiciones de las que partir. El segundo intuyo que es debido al experimento del par de gachós del otro día, aunque que yo recuerde, no había ningún observador moviéndose, pero bueno... en fin, aunque sólo con lo visto no soy capaz de decir si son razonables o no, estoy dispuesto a aceptar las suposiciones. Pero, a partir de el segundo postulado, ¿cómo sacas esa ecuación? Es que no lo veo...

Menos mal que estamos en el "economato" y puedo demostrar que soy algo ceporro...

19/12/06 18:18: Blogger Carlos said...  

Tienes razón los principios son axiomáticos. El primer principio viene a decirnos que no existe ningún observador privilegiado. Todos son iguales. Algo bastante razonable.
El segundo postulado dicho como se dijo realmente es que la velocidad de la luz no depende de la velocidad del objeto que la produjo (lo que ocurre con cualquier onda). Pero como se vio en el experimento de M&M esta velocidad es independiente del medio sobre el que se desplace (éter o vacío), así que la velocidad de la luz es cte e igual a c. Pero realmente no deja de ser un postulado como otro cualquiera.

la ecuación que siembra tus dudas imagino que es la de:
x^2+y^2+z^2=(ct)^2
Vale, si se produce un pulso de luz en el origen de coordenadas entonces este en un tiempo t habrá recorrido una distancia ct. Esto se hace por cualquiera de las tres coordenadas x, y, z. Entonces esa esfera representa la posición de ese rayo de luz. Entonces esto es cierto para ambos sistemas tanto el quieto como el que está en movimiento con la misma velocidad c.
Para estos experimentos funcionen bien necesitamos que el origen de coordenadas de ambos sistemas coincida en t=0. Algo así como que una nave despegue de la tierra en el instante inicial a velocidad v sino habría que hacer una translación inicial. eso se ve el la transformación tanto de galileo como de Lorentz x=x', y=y', z=z' para t=0 y con el tiempo se van alejado los ejes.

19/12/06 18:30: Blogger KikoLlan said...  

Carlos, para hacer frente a los escépticos, te propongo que incluyas -al final- un capítulo con las pruebas que corroboran la teoría de la relatividad. Yo recuerdo un par (lo de lo piones esos), pero se que hay muchas más a día de hoy.

Solo lo comento para que no se me olvide decírtelo.

20/12/06 10:19: Blogger Emilio said...  

Vale, más o menos creo que lo entiendo. O no, ahora me dices :).
Hay un sistema de referencia S' (la famosa nave) que se mueve respecto a otro sistema de referencia S a una velocidad constante.

Ahora, a mi izquierda, con 80 kg de peso y su profusa melena rizada, tenemos a Galileo con su transformación, muy lógica y fácil de entender, que nos explica como cambiar de coordenadas de un sistema al otro.

Y aaaaaaaaa mio derecha, con 70 kg de peso y los pelos como si los hubiera metido en el enchufe, tenemos a Einstein, con su nueva transformación. Einstein supone, por uno de sus postulados, que la velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas de referencia, algo bastante contraintuitivo. Pero tranquilos, cumple las matemáticas... Uy, espera, que no las cumple. Pues nada, entonces reinventamos el cambio de coordenadas de un sistema que se mueve a velocidad constante por una marcianada, un artificio matemático que permite que se cumpla mi postulado que, hasta donde yo sé, de momento es un axioma y no algo demostrado. ¿Porque el sistema S' se sigue moviendo a velocidad v respecto al S, no? ¿O me he perdido algo? Parafraseando mi intervención cuando hablaba del éter... errr.. ¿vaya huevos, no? (creo que voy a hacer una sección).

P.D: Me encanta hacer de abogado del diablo.

20/12/06 11:49: Blogger Carlos said...  

De momento tienes razón, las nuevas transformaciones matemáticas y lo que significan (que los intervalos de tiempo y espacio se vean ampliados en un factor 1/sqrt(1-&beta^2) para el sistema en movimiento) no es nada intuitivo. Y sí, como has adivinado, de momento, todavía es válida la hipótesis de que la luz es un corpúsculo y no una onda. Aunque eso va en contra de todas las propiedades que tiene la luz como onda, ya conocidas entonces. Y si la luz es una onda, el experimento de M&M prueba el segundo postulado.

Pero Emilio, a ver si eres un poco más abierto de miras que parece que si Einstein entra como becario a tu despacho con la teoría de la relatividad le mandas al campo a coger naranjas diciéndole que no vale para otra cosa.

Einstein fue muy atrevido al romper la creencia general de que el tiempo y el espacio son absolutos, independientemente del observador. Lo que para unos únicamente era la prueba de que la luz no puede viajar a la misma velocidad de forma independiente del observador. Einstein vio que realmente la transformación de Galileo no es otra cosa que una transformación basada en la experiencia y que no hay nada que impida cambiarla por otra que se adapte a las nuevas experiencias y a las antiguas

20/12/06 11:57: Blogger Emilio said...  

Y aquí una pregunta al resto de la "audiencia". ¿Existís? ¿Alguien más lee esto o voy al despacho de Carlos y que me lo cuente directamente?

20/12/06 12:28: Blogger KikoLlan said...  

Yo si que os leo, aunque no se si seré considerado audiencia... ya sabéis que yo lo veo TODO por aquí ;-)

20/12/06 18:55: Blogger Angelillo said...  

Yo tambien lo leo todo, pero si es muy largo el comentario a la 3ra linea lo tengo que dejar o me pasa como a Abe Simpson XD

20/12/06 19:18: Blogger Nachete said...  

Haya paz.

Yo también leo esto, y, más o menos, me entero de lo que cuenta.

21/12/06 12:32: Blogger Emilio said...  

Venga, pues si hay alguien leyendo, sigo por aquí. Ahora solo falta que también os metáis con Carlos, no me dejéis sólo :)

Más o menos lo tengo claro hasta ahora. Si la luz tiene velocidad constante independientemente del sistema de referencia, está claro que las matemáticas, la cinemática clásica, nos van a fallar.

Lo que no me ha quedado del todo claro es: Ese cambio de coordenadas propuesto, ¿es válido solo cuando uno de los sistemas de referencia se mueve a velocidad constante respecto al otro o es aplicable en más casos?

También me deja mal sabor de boca el haberlo sacado tal cómo lo has expuesto, es decir, a partir de la solución que queríamos obtener (¿era eso razonamiento inductivo en vez de deductivo? Bah, da igual, no me acuerdo...)

Ah, por cierto, pienso que cuestionarse las cosas es una de las mejores maneras de entenderlas. Aún así, he sido deliberadamente tocapelotas porque sí, porque me divierte. Si Einstein viniera a mi despacho, le daría un tocho de papers para que se leyera. Es eso lo que hacen los becarios, ¿no? Estudian, no trabajan... :P

De todas formas, me imagino q Einstein se encontraría a alguien que le planteara más o menos lo mismo que yo, ¿no?

21/12/06 13:05: Blogger Carlos said...  

Bueno, parece ser que álguien si que lee el hilo, a parte de kiko (omnipresente en el blog).

Sí, las transformaciones propuestas (como las de galileo) son únicamente válidas para sistemas que se mueven uno respecto de otro a velocidad constante. Nada de movimientos acelerados por favor.

Esto no es tan malo como podría parecer, porque podemos hacer las transformaciones para ver que está ocurriendo antes y después de las aceleraciones.

Y lo que he expuesto es la aproximación ingenieril de las transformaciones. Existe otra a partir del experimento de M&M que si queréis pierdo un poco de tiempo y la expongo. Esta es más sencilla y pensaba que más apropiada para el público ingenieril que sois.

27/12/06 19:13: Anonymous vengoroso said...  

Muy bueno el artículo, Carlos.
Quería añadir que eso de asumir que no hay ningún sistema de referencia privilegiado no es tan razonable como parece a primera vista. Filosóficamente, significa asumir que no hay ningún "centro" en el universo (esté este en la tierra, el sol, el agujero negro del centro de la galaxia, o el punto donde tuvo lugar el big-bang). Matemáticamente nos destruye todas las estructuras que se usaban hasta este momento, lo que viene a ser cambiar espacios vectoriales por afines (o grupos por torsores, si queremos ir más allá).

La teoría de la relatividad es en verdad un logro maravilloso, sobre todo por su descripción de la gravedad (supongo que eso es lo que te guardas para el siguiente artículo, ¿no?) cuyo único problema es... que no funciona a nivel cuántico. Nosotros hablábamos un poco de las incongruencias entre relatividad general y mecánica cuántica en un par de artículos sobre la paradoja EPR, por si a alguno os interesan:
http://ende.cc/bk2/pivot/entry.php?id=243
http://ende.cc/bk2/pivot/entry.php?id=247

¡Espero la siguiente entrega!

7/1/07 19:33: Anonymous Anónimo said...  

Carlos dice: "por ejemplo si una nave viaja de la Tierra a Marte a una velocidad v constante la imagen del lanzamiento llegará a Marte para los terrícolas una vez han pasado d/c años (siendo d la distancia de la Tierra a Marte y c la velocidad de la luz). Mientras que para la nave espacial Marte se acerca a velocidad v y la imagen del lanzamiento se aleja a velocidad c con lo que llegará antes a Marte pues la luz viaja a la misma velocidad c y como Marte se acerca a velocidad v tiene que recorrer menos espacio."

Este ejemplo no tiene, ni pies ni cabeza:
¿dónde está la nave?
a) a 200 Km de la Tierra
b) a 200 Km de Marte

7/1/07 22:45: Anonymous Anónimo said...  

Carlos dijo:
"el sistema S [ec. 1]
x2+y2+z2 = c2t2
Y para el sistema S' [ec. 2]
x'2+y'2+z'2 = c2t'2

Si hacemos la transformación de Galileo sobre (2) tenemos:
[ver imagen original]

igualando ahora con (1) para el sistema S tenemos que se tendría que cumplir:
[ver imagen original]"

Sin embargo yo veo que igualar con [1] da lo siguiente:
c2t2 = (c2-v2)t2 + 2vtx

Y en tu solución echo en falta el término 2vtx

10/1/07 19:24: Blogger KikoLlan said...  

Aika, tenemos a Carlos, nuestro experto en relatividad, "desaparecido". En cuanto vuelva le pongo con tus comentarios, ¿vale? :-)

17/1/07 11:06: Blogger carlos said...  

UFFFF.... Veo que Kiko tenía razón, pido mis disculpas a los lectores de la relatividad por mi descuido en contestar, llamadlo vacaciones de navidad y vuelta al trabajo. También por mi incapacidad de transmitir los conocimientos como dios manda, claro y conciso.

1º El segundo comentario sin contestar:

Realmente me había saltado un paso al hacer la igualdad, tenemos por un lado la ecuación 2 :

x^2+y^2+z^2-2vtx = (c^2-v^2)t^2

la ecuación 1 es

x^2+y^2+z^2=c^2t^2

Entonces para que las dos ecuaciones sean iguales para cualquier valor de x,y,z,t es necesario que los coeficientes que multiplican x^2,y^2,z^2,xt,t^2 tengan los mismos valores vemos que para x, y ,z no hay problema. El problema está con el coeficiente de tx y el de t^2 son diferentes para el primero se tiene que cumplir:
2v=0 y para el segundo: c^2-v^2=c^2
lo cual sólo es cierto para v=0.


en cuanto al otro comentario

Sí realmente los experimentos en relatividad no tienen ni pies ni cabeza y los postulados son muy raros. Intentaré explicar un poco lo que quería transmitir a ver si te sirve:

La velocidad de la luz es constante independientemente de la velocidad del observador. esto significa que si se lanza un rayo de luz desde la tierra hacia una nave que se mueve a la mitad de la velocidad de la luz, para los astronautas de la nave verán acercarse el rayo a la velocidad de la luz y no a la mitad de esta velocidad cómo cabría esperar. Todo esto es raro y no cabe en nuestro concepto de sentido común. Lo bonito es que los experimentos han ido confirmando esta teoría poco a poco.

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