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Juego de Ingenio: El concurso

Anotado por Carlos

Este viernes para terminar la semana de trabajo de forma relajada, os propongo otro juego de ingenio:

En un programa de televisión, el conductor hace pasar a su invitado a competir por el premio mayor: un automóvil. En el estrado hay tres puertas cerradas. Detrás de dos de esas puertas, hay una foto de un chivo. En cambio, detrás de la tercera hay una reproducción del vehículo. El participante tiene que elegir una de las tres puertas. Y si elige la correcta, se queda con el automóvil. Hasta aquí, no habría nada original. Sería un programa convencional de preguntas y acertijos de los múltiples que existen en la televisión. Pero el problema tiene un agregado. Una vez el invitado "elige" una de las tres puertas, el conductor del programa, que sabe detrás de quál está el premio, pretende colaborar con el participante, y para hacerlo, abre una de las puertas en las que él sabe que no está el automóvil. Y después le ofrece una nueva oportunidad para elegir. ¿Cuál es la mejor estrategia? O sea, ¿que es lo que más le conviene al participante? ¿Quedarse con lo que había elegio antes? ¿Cambiar de puerta? ¿O es irrelevante a los efectos de incrementar la probabilidad de ganar?

Adrián Paenza, matemática, ¿estás ahí?

Technorati tags: juegos, ingenio
Etiquetas: juegos

20 Comments:

10/3/07 15:01: Emilio said...: Es mejor cambiarse. Pero he tenido que pensarlo detenidamente después de discutirlo con mi hermano. La intuición me decía que daba igual. Vamos, que en pleno concurso habría metido la gamba.
11/3/07 11:39: Eudald said...: Hay que cambiar de puerta. Si cambias de puerta, apuestas a dos puertas (la que te enseña y la que has cambiado) de las tres. Si no la cambias, sigues jugando a una puerta de tres.
11/3/07 16:15: Anónimo said...: El conductor abre la puerta y sigues teniendo el 50% de provabilidades, no es motivo suficiente como para cambiar. Sencillamente es irrelevante.
11/3/07 22:58: Anónimo said...: Se entiende que el presentador ha abierto una puerta que tú no has elegido, por lo tanto, la probabilidad de ganar queda entre 2 puertas, al 50%. Da igual cambiar de puerta, eso no aumenta la probabilidad de ganar, sabes que está en una de las dos pero no sabes en cuál...
12/3/07 00:17: KikoLlan said...: Yo me cambiaba. Si no cambias, tienes 1/3 de posibilidades de ganar, pero si cambias, tienes 2/3 (solo pierdes si la buena era la primera que elegiste).
12/3/07 01:05: Anónimo said...: manuel lo ha explicado más claramente. Tanto si el concursante elije la puerta buena o no en el primer turno, el conductor abrirá una puerta de las falsas y el concursante tendrá que elegir entre la buena y una que no lo es. No hay mejor estrategia. Es irrelevante.
12/3/07 09:27: ALREGO said...: De hecho, tu primera elección no tiene relevancia. Al final es como un juego con sólo dos puertas y un 50% de probabilidades.
12/3/07 15:25: Emilio said...: Veo que hay debate. Me gusta :)

A ver, a los defensores de que hay un 50%. Yo era lo que pensaba al principio también, pero fijaos. Yo elijo una puerta de las 3 al principio que puede ser la buena (a un 33%) o una mala (a un 67%).

Mi estrategia es siempre cambiarme. En el primer caso, el presentador eliminará una de las malas y yo me cambiaré, pifiándola.

En el segundo caso, el presentador eliminará la mala, dejando la buena a la que yo me cambiaré. Como hemos dicho, este segundo caso se produce un 67% de las veces, que es la probabilidad de éxito de mi estrategia.

Fijaos que no tenemos un "fenómeno aleatorio puro" (no sé cómo decir esto con la terminología correcta, espero que se entienda) porque el presentador está introduciendo información, puesto que sabe que puerta es la correcta.
12/3/07 17:43: Anónimo said...: NUNCA DEJARÉ DE DUDAR
NUNCA DEJARÉ DE DUDAR
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:)
12/3/07 19:51: Carlos said...: Me parece que ya ha quedado claro, lo mejor es cambiarse.

Supongamos que el conductor del pograma nos dice que nos cambia la puerta que hemos elegido por las otras dos. En ese caso todos vemos que es mejor apostar a dos que a una. Eso es lo que está pasando, a no ser que alguien quiera un chivo, además de un coche. Porque de los premios de las otras dos puertas perdemos el más malo.

Para los más incrédulos una tabla

c=chivo, a=automovil, P1=puerta 1, O1= posibilidad 1

** P1 P2 P3
O1 a c c
O2 c a c
O3 c c a

Estas son las tres posibilidades, suponemos que elegimos la P1 y no cambiamos, entonces claramente ganaremos en la primera posibilidad y perderemos en las otras 2 probabilidad 1/3 de acertar.
Sumponemos que elegimos la Puerta 1 y cambiamos, Eso hace que si estamos en la posibilidad 1 perdamos, pero si estamos en la opción dos el conductor del programa abrirá la puerta 3 con lo que elegimos la 2 y ganamos y si estamos en la posibilidad 3 el conductor abre la 2 y al cambiarnos nos quedamos con la 3 y ganamos con lo que la probabilidad de ganar es 2/3.
13/3/07 19:11: Julio said...: Juas, juas, juas.

Menudos científicos estáis hechos.

Este problema nunca tuvo que ver con tres puertas, sino con dos.
Se trata de elegir una puerta buena entre dos.
La probabilidad es del 50%.

"Cambiar" o "no cambiar" es la forma de decir "elegir una" o "elegir la otra".

Por lo tanto no mejora si cambias, aunque tampoco empeora.
Te quedas igual.
13/3/07 19:20: Emilio said...: Hombre Rikel, mientras esperamos a que te concedan el Nobel, ¿te importaría mostrarnos la luz e indicarnos en qué es erróneo mi razonamiento, o el de Carlos?
13/3/07 19:24: Julio said...: Allá voy, aunque no es una explicación, sino la solución a vuestros problemas.

Si vas con la idea de no cambiar pase lo que pase, ganarás con un 33%.

Si vas con la idea de cambiar pase lo que pase, ganarás con un 67%.

Si en el momento que abren la puerta mala, dudas, ganarás con un 50%.

Sí, se contradice con lo que he dicho antes, ¿qué pasa?
13/3/07 19:39: Emilio said...: Vale, vamos mejorando. Entonces, ¿las probabilidades de éxito dependen no sólo de lo que hagas, sino también de lo que pienses?

¡Cáramba! ¿El poder de la mente? Ahora empiezo a estar de acuerdo en que hay opiniones poco científicas ;)

Por cierto, rectificar es de sabios.

P.D: Me releeo y sueno un poco duro. Soy así, que te cuenten estos (Carlos por ejemplo), pero que conste que va sin acritud.
13/3/07 19:57: KikoLlan said...: Yo, que era de los cambistas, desde hace un par de días me rayé con la escala temporal.

Creo que no es exactamente lo mismo, pero es parecido a sacar 4 caras seguidas con una moneda. Al principio la probabilidades es 1/2*1/2*1/2*1/2, pero cuando ya has sacado 3 caras y vas a tirar por última vez la probabilidad es 1/2.

Tengo claro que, a priori, es mejor cambiarse. Pero cuando ya solo quedan dos puertas... ¿es 50%?

Por cierto, un ingeniero no daría tantas vueltas: Lo implementaría en matlab, lo ejecutaría 1.000.000 de veces y dibujas el histograma. ¡Que sois unos pesaos! :-)

PD. Emilio solo eres duro en el mundo digital, lo siento :-)
13/3/07 20:05: Emilio said...: Vale, pensando en el problemita se me ha ocurrido otro ejemplo, dirigido al resto defensores del 50% (Rikel parece que ya ha visto la luz ;) ).

Imaginemos que nos vamos de cañas, que esto lo hacemos todos, no como lo del concurso. Cuando llega el momento de pagar yo saco dos bolsitas, una con 500 bolas (499 blancas y una negra) y otra vacía. Sí, siempre llevo encima un juego de estos para cuando salgo de cañas. Entonces te propongo: -El que se quede con la bola negra, paga las cañas.

A continuación, saco una bola de la bolsa llena aleatoriamente, y sin que la veamos, la pongo en la vacía. Luego, le doy la bolsa con 499 bolas a la rubia de al lado, al camarero o a un colega que podemos llamar... um, no se, presentadordelconcurso ;) y le digo: -Mira aquí dentro y, sin que te veamos, saca todas las bolas blancas. Si no hay ninguna bola negra, deja una blanca (por aquello del peso de la bolsa y tal).

Vale, si es una rubia tremenda va a pensar que estoy hecho un friki, reduciendo mis probabilidades de ligármela (un 33%, un 50%, ese es otro problema estadístico, por cierto bastante más interesante).

Cuando me devuelve la bolsa, te la doy a tí. Tenemos dos bolsas, cada una con una bola, que puede ser blanca o negra. Por tanto, un 50%, ¿no?

Todos los que penséis que sí, dad un paso adelante, que me voy de cañas con vosotros.

P.D: El ejemplo es totalmente válido si lo hacemos con bolas rojas y azules en lugar de blancas y negras y coca-colas en lugar de cañas.
13/3/07 21:03: KikoLlan said...: Si, es un buen ejemplo, Emilio.

Como cambista, siento vergüenza por estos momentos de duda... :-)
14/3/07 11:07: Carlos said...: jajajaja

Emilio genial ejemplo

Lo que nos hace dudar, es que si en el ejemplo del bar, tu compañero de cañas anda tan... perjudicado que no se ha enterado del proceso de vaciado de la bolsa y le das a elegir entre las dos bolsas como no sabe cual has vaciado, entonces efectivamente a la hora de elegir tiene un 50% de probabilidad de acertar, hay una bola en cada mano y no sabe que ha pasado antes, pero si tú sabes lo que ha ocurrido antes, y elegirás sin dudarlo la que viene del proceso de vaciado de las bolas.
14/3/07 11:42: Julio said...: Exacto!

Parece increíble como la probabilidad de coger la bolsa buena "disminuye" cuando te paras a dudar.

Es lo que llamamos, probabilidad condicionada... creo.
20/3/07 10:35: ALREGO said...: Emilio, he visto la luz. Si hubieras venido el jueves nos podrías haber enseñado lo de las cañas, juerguista!